Простейшие механические колебательные системы.

Простейшие механические колебательные системы.

Глава 4. Механические колебания

Колебания – это движения, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания именуются свободными либо своими, если они совершаются за счет сначало сообщенной энергии под воздействием только внутренних сил. Простым типом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина меняется с течением времени по закону синуса (либо косинуса).

4. 1. Гармонические колебания Простейшие механические колебательные системы.. Амплитуда. Фаза.

Скорость и ускорение. Квазиупругая сила

Гармоническое колебание изображают графически способом вращающегося вектора амплитуды (рис. 4.1).

Если из случайной точки О на оси х под углом , равным исходной фазе колебаний, отложить вектор, модуль которого равен А, и привести его во вращение с угловой скоростью , то проекция вектора А на ось Простейшие механические колебательные системы. х
Рис. 4.1

будет изменяться по закону

(4.1)

где А – амплитуда колебаний; – повторяющаяся частота; – фаза колебаний; – исходная фаза.

Гармонические колебания охарактеризовывают последующие величины:

– период колебаний, время 1-го полного колебания;

– частота колебаний определяет число колебаний, которое совершает система в единицу времени;

– повторяющаяся частота.

Запишем дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Для этого найдем первую Простейшие механические колебательные системы. и вторую производные от (4.1), которые определяют скорость и ускорение при колебательном движении

(4.2)

(4.3)

Амплитудные значения скорости и ускорения соответственно равны и . Фаза скорости отличается от фазы смещения на p/2 (рис. 4.2).

Уравнение (4.3) можно представить в виде либо (4.4) Выражение (4.4) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Оно связывает колеблющуюся величину X(t) с её 2-ой производной Простейшие механические колебательные системы.. Решением этого уравнения (4.4) является выражение (4.1).
Рис. 4.2

Колебательное движение есть движение с ускорением, потому на колеблющееся тело должна действовать сила, сообщающая ему ускорение. Гармонические колебания происходят под действием упругой либо квазиупругой силы, которая выражается как: . По второму закону Ньютона можно записать

(4.5)

где – коэффициент пропорциональности.

Энергия гармонического колебательного движения

Кинетическую энергию Простейшие механические колебательные системы. гармонических колебаний можно представить в виде

(4.6)

Возможная энергия гармонического колебания под действием квазиупругой силы F = – кХ определяется в виде

(4.7)

Полную энергию представляем как сумму выражений (4.6) и (4.7) и равную

(4.8)

Таким макаром, если пренебречь силами трения, то полная энергия колеблющейся системы остается неизменной величиной.

Простые механические колебательные системы.

(пружинный, физический и математический маятники)

Колеблющаяся Простейшие механические колебательные системы. система, описываемая уравнением

(4.9)

именуется гармоническим осциллятором.

Гармонический осциллятор служит четкой либо приближенной моделью в почти всех задачках традиционной и квантовой физики.

Примерами гармонического осциллятора в механике служат пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник. Груз массой m, прикрепленный к полностью упругой пружине с коэффициентом жесткости (упругости) к, совершает колебания под действием квазиупругой силы Простейшие механические колебательные системы.

Уравнение движения имеет вид

либо

(4.10)

Решением уравнения является выражение

(4.11)

где – собственная частота колебаний маятника; – период колебаний пружинного маятника.

Физический маятник, показанный на рис. 4.3, представляет собой жесткое тело, совершающее под действием силы тяжести малые колебания вокруг горизонтальной недвижной оси (точка О), не проходящей через центр массы тела (точка С).

Если маятник отклонен из Простейшие механические колебательные системы. положения равновесия на угол a, то в согласовании с главным законом динамики вращательного движения момент возвращающей силы можно записать в виде
Рис. 4.3

(4.12)

потому что для малых углов

где l – расстояние меж точкой подвеса О и центром тяжести маятника; – момент инерции относительно оси, проходящей через точку О; ( )– момент возвращающей Простейшие механические колебательные системы. силы, т. е. произведение силы тяжести на плечо.

Перепишем уравнение (4.12) в виде

либо

(4.13)

Обозначив

получим

(4.14)

Решение уравнения (4.14) имеет вид

(4.15)

Таким макаром, при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с повторяющейся частотой ω0 и периодом, равным

(4.16)

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из вещественной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити длиной l Простейшие механические колебательные системы., и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Момент инерции математического маятника определяется как

(4.17)

Математический маятник можно рассматривать как личный случай физического маятника, предположив, что вся масса физического маятника сосредоточена в центре тяжести.

Тогда, подставив в (4.16) выражение для момента инерции, получим период колебаний математического маятника в виде

(4.18)


proshloe-eto-vse-chto-sushestvuet-5-glava.html
proshloe-i-budushee-v-dialektnoj-kartine-mira-statya.html
proshloe-nastoyashee-i-budushee-elizi-dulittl.html